В вершинах куба записали восемь различных натуральных чисел, а на каждой грани - сумму четырех чисел в ее вершинах. Оказалось, что число на каждой грани в 1,5 раза больше или в 1,5 раза меньше числа на противоположной грани. Может ли сумма чисел в вершинах быть равной 2016?

У куба всего шесть граней.

Значит, имеется три пары противоположных граней, где в каждой паре числа на гранях

отличаются в 1,5 раза

Пусть в первой паре это числа а и 1,5 а,

во второй паре в и 1,5 в,

в третье паре с и 1,5 с

Сумма чисел в вершинах равна сумме чисел на гранях. Приравняем эту сумму числу 2016.

а + 1,5 а + в + 1,5 в + с + 1,5 с = 2016

а + в + с + 1,5 а + 1,5 в + 1,5 с = 2016

а + в + с + 1,5 (а + в + с) = 2016

(а + в + с) • (1 + 1,5) = 2016

(а + в + с) • 2,5 = 2016

а + в + с = 2016 : 2,5

а + в + с = 806,4

Этого не может быть, поскольку в вершинах записаны натуральные числа, следовательно их сумма на каждой из гранях также является натуральным числом, и, соответственной сумма чисел на любых гранях также должна быть натуральным числом и не может быть дробью.

Ответ: нет, не может.