Внутрь прямого угла вписана окружность. хорда, соединяющая точки касания, ровна 40 см. вычислите расстояние от центра окружности до хорды.

ну, в первой загадке Вы опечатались в условии, похоже:

должно быть так: "Через точку А к окружности w (0, r) проведены". А то выходит, что А принадлежит окружности, при этом через нее аж две касательные провели ... умельцы!))

Ну а доказывать, полагаю, надо через равенство треугольников, образующихся при соединении этой точки А с центром окружности и радиусов, проведенных к точкам касания В и С.

Треугольники АВО и АСО:

во-первых, прямоугольные. (углы В и С прямые, ибо радиус к точке касания перперндикулярен касательной);

во-вторых, имеют равные катеты ОВ и ОС (длина их - радиус окружности);

В-третьих - у них равные гипотенузы (она у них общая, это отрезок АО);

Значит они равны (по углу и двум сторонам)

Следовательно АВ=АС.

Согласны?

А вот что думаю про вторую задачку:

Раз угол прямой, то, соединив отрезками точки касания с центром окружности, получим симпатичный квадрат, диагональ которого - та самая хорда.

Ну, а у квадрата диагонали равны и перпендикулярны друг другую.

Значит проводим вторую диагональ (она как раз из центра к хорде под прямым углом пойдет) и сразу становится видно, что расстояние от хорды то центра окружности окружности - ровно половина диагонали, т. е.

40/2 = 20 см

Ура?

Ура!))