Почему площадь любого прямоугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаге выражается целым числом клеточек?

Потому что площадь фигуры - то пространство, которое заключено внутри этой фигуры. В случае с прямоугольником условие расположения вершин в узлах клеточек бумаги гарантирует, что внутри будут находиться только целые клетки, т. к. в прямоугольнике все углы прямые, а значит ни одна из сторон не будет пересекать клетки бумаги, а будет всегда идти по внешней границе клеток.