Дано 15-ти значное число записанное нулями и еденицами, которое делиться на 81, но не делится на 10. доказать, что из него нельзя вычеркнуть один из нулей так, чтобы полученное число по-прежнему делилось на 81.

Записанное число делится на 81, следовательно оно делится и на 9.

Из признака делимости на 9 следует, что число единиц в этом числе так же делится на 9. Среди чисел от 1 до 15 есть только одно такое число: 9, следовательно, в записи числа 9 единиц.

Данное число не делится на 10 и в его записи участвуют только нули и единицы, следовательно оно оканчивается на единицу.

Предположим, что можно вычеркнуть ноль так, чтобы оставшееся число делилось на 81.

До вычеркивания нуля исходное число имело вид 10a+b, а полученное после вычеркивания a+b. преобразуем полученное число

a+b = (10a+b) - 9a

10a+b делится на 81 по условию. Для того, чтобы a+b делилось на 81 нам необходимо, чтобы второе слагаемое делилось на 81, а для этого нужно, чтобы a делилось на 9 но этого не может быть так как число a записывается нулями и единицами, причем единиц не больше восьми, т. к. в исходном числе их было 9, причем одна из них находилась в самом правом разряде, т. е. неминуемо попала в число b.

Вывод: для числа a не выполнен признак делимости на 9, следовательно, 9a не делится на 81.

Противоречие.