Докажите, что произведение пяти последовательных целых чисел делится на 5.

Пусть первое число х. Тогда следующие числа (х+1), (х+2), (х+3), (х+4)

Просуммируем эти числа:

х + х + 1 + х + 2 + х + 3 + х + 4 = 5 х + 10 = 5 (х + 2)

Полученное выражение делится на 5, потому что один из его множителей 5.

Ну, вообще-то, можно доказать, что это произведение делится на 5*3*4*2, т. е. на 120, т. к. среди пяти последовательных чисел всегда есть кратные 3,4,5 и2.

Но нас просят только про 5. Фактически просят доказать, что среди пяти последовательных целых чисел есть число кратное 5.

В самом деле: возьмем произвольное число к и пусть оно будет первым из пяти. Пусть остаток от его деления на 5 равен м, где м меньше 5. Тогда к+5-м делится на 5 и находится среди наших пяти чисел.

Если один из сомножителей делится на 5, то и все произведение делится на 5, что и доказывает утверждение.