Докажите, что разность четвертых степеней двух натуральных чисел, не кратных 5, делится на 5.

Положим что числа равны a, b тогда по условию получим разность a^4-b^4 требуется доказать то что полученная разность делится на 5. Так как числа 5 простое, а числа a, b не кратны 5, значит (a, 5) = (b, 5) = 1.

По малой теореме Ферма получим что a^4 даёт остаток равный 1 при делении на 5, аналогично и с b. Тогда a^4-b^4 даёт остаток равный 0 при делении на 5.