Y=x^4/x^4+1 (от - бесконечности до + бесконечности

Упростим дробь, для чего разделим числитель на знаменатель.

x^4 / (x^4+1) = 1-1 / (x^4+1).

Анализируем полученную функцию на экстремумы, для чего нужно отыскать точки, где первая производная обращается в ноль.

Находим производную функции: 4x^3 / (x^4+1) ^2.

Она обращается в ноль в единственной точке х=0.

Проверим, что достигается в этой точке - максимум, или минимум.

Анлизируем знак второй производной при х=0.

Находим вторую производную: - 32x^6 / (x^4+1) ^3+12x^2 / (x^4+1) ^2

При х=0 вторая производная обращается в ноль, следовательно точка х=0 может и не быть точкой экстремума.

Проанализируем поведение функции y=1-1 / (x^4+1) в окрестности точки х=0

Вследствие четной степени х функция является четной, т. е. её значение не зависит от знака х. При х=0 значение функции равно 0. При х=1 значение функции равно 1/2. При х=2 значение функции равно 8/9 и. т. д. Т. е. мы видим, что с ростом х значение функции растет. При х, стремящемся к бесконечности, значение функции стремится к 1 (значение дроби 1 / (х^4+1) стремится к нулю).

Поэтому в точке х=0 мы имеем минимум.

Максимум функции достигается при плюс и минус бесконечности., поэтому можно говорить, что функция максимума не имеет.