Найти все значения числа а, при которых множество решений неравенства |а^2+3a-5-x| ≥4+|2x+4| содержит отрезок длины большей или равной 1.

|a^2+3a-5-x| > = 4 + |2x+4|

Здесь две особые точки: x1 = a^2+3a-5 и x2 = - 2.

1) Пусть a^2+3a-5 < - 2

a^2+3a-3 < 0

D = 3^2 - 4*1 * (-3) = 9 + 12 = 21

a1 = (-3 - √21) / 2 ≈ - 3,79; a2 = (-3 + √21) / 2 ≈ 0,79

a ∈ ((-3 - √21) / 2; (-3 + √21) / 2)

1) а) Если x < a^2+3a-5 < - 2, то |a^2+3a-5-x| = a^2+3a-5-x; |2x+4| = - 2x-4

a^2 + 3a - 5 - x > = 4 - 2x - 4

-x < = a^2 + 3a - 5

x > = - a^2 - 3a + 5

Решим неравенство

-a^2 - 3a + 5 < a^2 + 3a - 5

a^2 + 3a - 5 > 0

Но по условию x < a^2+3a-5 < - 2 < 0, поэтому

Решений нет при x < (a^2+3a-5) < - 2

1) б) Если a^2+3a-5 < = x < - 2, то |a^2+3a-5-x| = x-a^2-3a+5; |2x+4| = - 2x-4

x - a^2 - 3a + 5 > = 4 - 2x - 4

-a^2 - 3a + 5 > = - 3x

x > = (a^2+3a-5) / 3

Но по условию x ∈ [a^2+3a-5; - 2), поэтому решим неравенство

(a^2+3a-5) / 3 < - 2

a^2+3a-5 < - 6

a^2+3a+1 < 0

D = 9 - 4 = 5

a1 = (-3 - √5) / 2 ≈ - 2,618; a2 = (-3 + √5) / 2 ≈ - 0,382

Если a ∈ ((-3 - √5) / 2; (-3 + √5) / 2), то x ∈ [ (a^2+3a-5) / 3; - 2)

Длина этого интервала больше или равна 1, если

(a^2+3a-5) / 3 < = - 3

a^2+3a-5 < = - 9

a^2+3a+4 < = 0

Это неравенство решений не имеет.

Если a ∈ ((-3 - √21) / 2; (-3 - √5) / 2] U [ (-3 + √5) / 2; (-3 + √21) / 2)

то решений нет.

1) в) Если a^2+3a-5 < - 2 < = x, то |a^2+3a-5-x| = x-a^2-3a+5; |2x+4| = 2x+4

x - a^2 - 3a + 5 < = 4 + 2x + 4

-a^2 - 3a + 5 - 8 > = x

x < = - a^2 - 3a - 3

Решим неравенство

-a^2 - 3a - 3 > = - 2

a^2 + 3a + 1 < = 0

a1 = (-3 - √5) / 2 ≈ - 2,618; a2 = (-3 + √5) / 2 ≈ - 0,382

Если a ∈ [ (-3 - √5) / 2; (-3 + √5) / 2], то x ∈ [-2; - a^2-3a-3]

Длина этого интервала больше или равна 1, если

-a^2-3a-3 > = - 1

-a^2-3a-2 > = 0

a^2+3a+2 < = 0

(a+1) (a+2) < = 0

При a ∈ [-2; - 1] и при условии a^2+3a-5 < - 2 < = x

длина интервала x ∈ [-2; - a^2-3a-3] не меньше 1.

Если a ∈ ((-3 - √21) / 2; (-3 - √5) / 2) U ((-3 + √5) / 2; (-3 + √21) / 2)

то решений нет.

2) Пусть a^2+3a-5 = - 2

a^2+3a-3 = 0

D = 3^2 - 4*1 * (-3) = 9 + 12 = 21

a1 = (-3 - √21) / 2 ≈ - 3,79; a2 = (-3 + √21) / 2 ≈ 0,79

|-2 - x| > = 4 + |2x + 4|

2) а) Если x < - 2, то |-2-x| = - 2-x; |2x+4| = - 2x - 4

-2 - x > = 4 - 2x - 4

-2 > = - x

x > = 2

Но по условию x < - 2, поэтому решений нет.

2) б) Если x > = - 2, то |-2-x| = x+2; |2x+4| = 2x+4

x + 2 > = 4 + 2x + 4

-6 > = x, но по условию x > = - 2, поэтому решений нет.

3) Пусть a^2+3a-5 > - 2

a^2+3a-3 > 0

D = 3^2 - 4*1 * (-3) = 9 + 12 = 21

a1 = (-3 - √21) / 2 ≈ - 3,79; a2 = (-3 + √21) / 2 ≈ 0,79

a ∈ (-oo; (-3 - √21) / 2) U ((-3 + √21) / 2; + oo)

3) a) Если x < - 2 < = a^2+3a-5, то |a^2+3a-5-x| = a^2+3a-5-x; |2x+4| = - 2x-4

a^2 + 3a - 5 - x > = 4 - 2x - 4

-x < = a^2 + 3a - 5

x > = - a^2 - 3a + 5

Решим неравенство

-a^2 - 3a + 5 < - 2

-a^2 - 3a + 7 < 0

a^2 + 3a - 7 > 0

D = 3^2 + 4*7 = 9 + 28 = 37

a1 = (-3-√37) / 2 ≈ - 4,541; a2 = (-3+√37) / 2 ≈ 1,541

Если a ∈ (-oo; (-3-√37) / 2) U ((-3+√37) / 2; + oo), то x ∈ [-a^2-3a+5; - 2)

Длина этого интервала больше или равна 1, если

-a^2-3a+5 < = - 3

0 < = a^2+3a-8

D = 3^2+4*8 = 9+32 = 41

a1 = (-3 - √41) / 2; a2 = (-3 + √41) / 2

При a ∈ (-oo; (-3 - √41) / 2] U [ (-3 + √41) / 2; + oo) и при условии

x < - 2 < = a^2+3a-5 длина интервала x ∈ [-a^2-3a+5; - 2) не меньше 1.

Если a ∈ ((-3-√37) / 2; (-3-√21) / 2) U ((-3+√21) / 2; (-3+√37) / 2)

то решений нет.

3) б) Если - 2 < = x < a^2+3a-5, то |a^2+3a-5-x| = a^2+3a-5-x; |2x+4| = 2x+4

a^2 + 3a - 5 - x > = 4 + 2x + 4

a^2 + 3a - 13 > = 3x

x < = (a^2 + 3a - 13) / 3

Решим неравенство

(a^2 + 3a - 13) / 3 > - 2

a^2 + 3a - 13 > - 6

a^2 + 3a - 7 > 0

a1 = (-3 - √37) / 2 ≈ - 4,541; a2 = (-3 + √37) / 2 ≈ 1,541

Если a ∈ (-oo; (-3 - √37) / 2) U ((-3 + √37) / 2; + oo), то x ∈ [-2; (a^2+3a-13) / 3]

Длина этого интервала больше или равна 1, если

(a^2+3a-13) / 3 > = - 1

a^2+3a-13 > = - 3

a^2+3a-10 > = 0

(a+5) (a-2) > = 0

При a ∈ (-oo; - 5] U [2; + oo) и при условии - 2 < = x < a^2+3a-5

длина интервала x ∈ [-2; (a^2+3a-13) / 3] не меньше 1.

Если a ∈ ((-3 - √37) / 2; (-3 - √21) / 2) U ((-3 + √21) / 2; (-3 + √37) / 2)

то решений нет.

3) в) Если - 2 < = a^2+3a-5 < = x, то |a^2+3a-5-x| = x-a^2-3a+5; |2x+4| = 2x+4

x - a^2 - 3a + 5 > = 4 + 2x + 4

-a^2 - 3a - 3 > = x

x < = - a^2 - 3a - 3

Решим неравенство

a^2 + 3a - 5 < - a^2 - 3a - 3

2a^2 + 6a - 2 < 0

D/4 = 3^3 - 2 (-2) = 9 + 4 = 13

a1 = (-3 - √13) / 2 ≈ - 3,303; a2 = (-3 + √13) / 2 ≈ 0,303

a ∈ ((-3 - √13) / 2; (-3 + √13) / 2) ≈ (-3,303; 0,303)

Но по условию 3 пункта

a ∈ (-oo; (-3 - √21) / 2) U ((-3 + √21) / 2; + oo) ≈ (-oo; - 3,79) U (0,79; + oo)

Поэтому, если - 2 < = a^2+3a-5 < = x, то решений нет.

Ответ:

1) При a ∈ (-oo; (-3 - √41) / 2] U [ (-3 + √41) / 2; + oo) и при условии

x < - 2 < = a^2+3a-5 длина интервала x ∈ [-a^2-3a+5; - 2) не меньше 1.

2) При a ∈ (-oo; - 5] U [2; + oo) и при условии - 2 < = x < a^2+3a-5

длина интервала x ∈ [-2; (a^2+3a-13) / 3] не меньше 1.

3) При a ∈ [-2; - 1] и при условии a^2+3a-5 < - 2 < = x

длина интервала x ∈ [-2; - a^2-3a-3] не меньше 1.