Напишите уравнение касательной и нормали к параболе y=x^2-2x+5 в точке абсцисса которой равна х=2

Скорее всего эта задача на применение производной.

Координаты концов хорды (1,4) и (3,8), ее уравнение у=2 х+2. (угловой коэф. = 2)

Найдем производную приравняем к 2 и найдем координату х точки касания,

а дальше уравнение касательной в этой точке.

Но мне всегда нравился вариант без производной. По определения касательной

это предельное положение секущей (когда один из концов хорды стремится по

параболе к другому). Часто путают и говорят, что касательная пересекает график

в одной точке. Это не верно, в одной точке его пересекают прямые || оси Oy, а касательная

пересекает в двух совпавших точках. Алгебраически это означает следующие

когда мы ищем точки точки пересечения некоторой прямой и параболы

мы решаем систему 1 квадратного уравнения и 1 линейного,

после подстановки все сводится к решению квадратного, Если дискриминат = 0

получаем два совпавших корня. Это лирическое отступление. а теперь решение.

Уравнение касательная || хорде имеет у=2 х+b (b и надо найти)

Найдем точки пересечения, т. е решим систему

y=x^2-2x+5, у=2 х+b. Подставим у из второго в первое получим

x^2-4x+5-b=0 выделим полный квадрат

(x^2-4x+4) + 1-b=0

(x-2) ^2 + (1-b) = 0

дискриминант будет = 0 если b=1, т. е искомое уравнение у=2 х+1

(кстатит х=2 - - точка касания).