Даны пять чисел; сумма любых трёх из них чётна. Доказать, что все числа чётны.

в этих 5 числах гарантировано есть 3 четных числа в противном случае мы бы смогли выбрать 3 нечетных числа и их сумма была бы нечтной. Теперь осталось доказать что оставшие 2 четные: возьмем одну из этих двух чисел и 2 числа из гарантиравнно четных чисел их сумма четна значит и все 3 числа четные, проделаем тоже самое с оставшийся числом.

Рассмотрим все варианты.

1. чет+чет+чет=чет

2. чет+чет+нечет=нечет

3. чет+нечет+нечет=чет

4. нечет+нечет+нечет=нечет

Таким образом, гарантий, что, хотя бы при одном нечетном числе, будет четное число нет. Четное число будет только при сумме всех четных чисел.