Верно ли, что уравнение |x-2|+|x-5|=3 имеет бесконечно много корней?

да, ну вот если решать так:

х-2+х-5=3

2 х-7=3

2 х=10

х=5 то есть как уравнение, то получится + - 5, ну те множество корней, получается, что имеет много корней

Нет, не верно.

Рассмотрим уравнение.

1) Находим нули подмодульных выражений.

x-2=0 x-5=0

x=2 x=5

2) Отмечаем эти точки на координатной оси.

Получаем отрезки (-бесконечность; 2); [2; 5]; (5; + бесконечность)

3) Решаем уравнения.

Рассмотрим три случая.

х равен числу из отрезка (-бесконечность; 2).

Подставляя из этого отрезка любое число в исходное уравнение, видим, что под первым модулем и вторым тоже число получится отрицательным (например 1-2 = - 1).

Значит, наше уравнение приобретает вид

2 - х + 5 - х = 3

7 - 2 х = 3, откуда легко находим х=2, но число 2 не входит в наш промежуток.

Второй случай отрезок [2; 5]. В первом модуле число будет положительным, во втором - отрицательным (возьмем например 3 - 1 и 3 - 5).

Значит наше уравнение приобретает вид

х - 2 + 5 - х = 3

Иксы уничтожаются, как противоположные по знаку, остается 3 = 3, т. е. любой х из интервала [2; 5] является корнем уравнения.

Третий случай отрезок (5; + бесконечность).

Оба модуля положительные. Уравнение будет вида х - 2 + х - 5 = 3 откуда находим х = 5, но 5 не входит в наш интервал.

Получается, что корней уранения много, но все же их конечное количество и все они лежат в интервале от 2 до пяти включительно [2; 5 ]