существует ли прямоугольник длины сторон которого выражаются натуральными числами а периметр простым числом (длины сторон и периметр прямоугольника выражены в одних и тех же единицах измерения) ? Ответ обоснуйте

Не существует.

1) если все стороны выражены четными числами, то сумма тоже будет четным числом.

2 а-одна сторона прямоугольника

2 в-вторая сторона прямоугольника

Р=2 (2 а+2 в) = 4 (а+в). Один из множителей кратен 2, значит и произведение кратно 2, а значит не может быть простым числом (все простые числа - нечетные, кроме числа 2)

2) одна сторона четная 2 а, а вторая нечетная - 2 в+1

Р=2 а+2 а+2 в+1+2 в+1=4 а+4 в+2=2 (2 а+2 в+1) - один из множителей кратен 2, все произведение-четное число.

3) и ширина, и длина - нечетные числа

2 а+1 - длина

2 в+1-ширина

Р=2 а+1+2 а+1+2 в+1+2 в+1=4 а+4 в+4=4 (а+в+1) - один из множителей снова кратен 2 - периметр выражается четным числом

Ответ: периметр прямоугольника-число всегда четное, если стороны выражены натуральными числами и значит не может являться простым числом.