Если при делегии числа на 9 получается 2 или 7 то при делении квадрата этого числа на 9 получется остаток 4

Пусть при делении на 9 некоторого числа остаётся 2.

Отсюда, само число имеет вид 9 х+2.

Образуем квадрат этого числа.

(9 х+2) ² = (9 х) ²+2*9 х*2+2²=81 х²+36 х+4.

Первое из слагаемых делимо на 9, второе - делимо, а четвёрочка - остаток, что и следовало доказать.