Пять кузнечиков находятся в точках плоскости с целыми координатами. Докажите, что середина одного из отрезков, соединяющих двух кузнечиков, тоже имеет целые координаты.

Для упрощения рассуждений сдвинем начало координат в точку, в которой находится один из кузнечик. Все остальные останутся в точках с целыми координатами (мы их будем называть целочисленными точками), как и середины отрезков, если они первоначально находились в таких точках. Тогда середины отрезков, соединяющих первого кузнечика со всеми остальными, задаются половинами координат этих остальных. Предположим, что все эти середины не попали в целочисленные точки. Это означает, что у каждой из этих точек хотя бы одна координата нечетная. Возможны три варианта: первая координата нечетная, вторая четная; первая четная, вторая нечетная; обе координаты нечетные. Значит, найдутся две точки, чьи координаты удовлетворяют одному и тому же варианту (это очевидно, но для очистки совести поступлю так, как принято: сошлюсь на принцип Дирихле). Берем эти две точки и ищем середину, которая оказывается в целочисленной точке, поскольку сумма чисел одинаковой четности четна, а координаты середины отрезка ищутся как полусуммы координат концов.