Найдите наибольшее натуральное число которое нельзя представить как сумму двух натуральных чисел, в десятичной записи каждого из которых найдутся две одинаковые цифры рядом

Будем строить нужное представление в виде суммы двух чисел так. Вычтем по порядку из исходного числа 0, 11, 22, 33, ..., 99. Пусть результат ... xyz, и он получился при вычитании kk. Тогда если k = 0 и ... x > y или k > 0 и ... x > = y, то удовлетворяет условию разложение ( ... x - y) kk + yyz.

(Поясняющий пример: пусть исходное число 407. Тогда разности равны 407, 396, 385, 374, 363, 352, 341, 330, 319, 308. Выбираем 319 = 407 - 88. Разложение имеет вид 119 + 288)

Ничего не выйдет, если при любом k выходит, что ... x < y.

Заметим, что y пробегает все цифры 0, 1, ..., 9, кроме одной. y = 1 пропускается, если число больше 99 и даёт остаток 10 при делении на 11.

* Если число даёт остаток 10 при делении на 11 и оно больше 208, то либо среди разностей есть 219 (для чисел от 219 до 318), или все разности не меньше 329 - 99 = 230. В последнем случае подойдёт такое k, при котором ... xyz = ... x2z.

* Если число дает остаток не 10 при делении на 11 и оно больше 208, то любая разность не меньше 209 - 99 = 110, подойдет такое k, при котором ... xyz = ... x1z.

Итак, для любого числа, большего 208, требуемое представление находится. Легко проверить, что для 208 такого представления нет. Поэтому

Ответ. 208.