1) В полку меньше тысячи солдат. Полковник хочет построить их на плацу в форме прямоугольника. Сначала он хотел поставить по 17 солдат в каждой шеренге, но для этого не хватило одного солдата. Тогда он попытался поставить по 19 солдат в каждой шеренге, но опятьне хватило одного солдата. Сумеет ли полковник поставить по 20 солдат в каждой шеренге?

Пусть число солдат х, тогда число (х+1) кратно 17, поскольку не хватило одного соладата, также это число кратно 19.

Следовательно поскольку 19 и 17 простые числа, то наименьшее общее кратное этих чисел

17*19=323

Т. е. число (х+1) кратно 323, а значит само число кратно 322.

Известно, что солдат меньше 1000, поскольку число солдат кратно 322, то количество содат может быть

322, 644, 966. Ни одно из этих чисел не кратно 20, а значит полковник не сумеет построить солдат.