2^5 х-2^4 х-2^3 х+2^2 х+2^х=0

Замена 2^x = y > 0 при любом х

y^5 - y^4 - y^3 + y^2 + y = 0

y (y^4 - y^3 - y^2 + y + 1) = 0

y1 = 2^x = 0 - решений нет

y^4 - y^3 - y^2 + y + 1 = 0

Уравнение 4 степени. Старший коэфф. > 0, ветви направлены вверх.

Чтобы понять, есть ли у него корни, найдем его точки минимума.

4y^3 - 3y^2 - 2y + 1 = 0

4y^3 - 4y^2 + y^2 - y - y + 1 = 0

(y - 1) (4y^2 + y - 1) = 0

y1 = 1; f (y1) = 1^4 - 1^3 - 1^2 + 1 + 1 = 1

D = 1 + 4*4*1 = 17

y2 = (-1 - √17) / 8 ~ - 0,64; f (y2) ~ (-0,64) ^4 - (-0,64) ^3 - (-0,64) ^2 + (-0,64) + 1 ~ 0,38

y3 = (-1 + √17) / 8 ~ 0,39; f (y3) ~ (0,39) ^4 - (0,39) ^3 - (0,39) ^2 + (0,39) + 1 ~ 1,2

Во всех 3 экстремумах значение функции положительно, значит, корней нет.

Ответ: решений нет.