Сумма катета ac и гипотенузы ab треугольника abc равна 18 дм, а их разность - 8 дм. Найдите расстояния от вершин A, B, C до прямых, проходящих через противолежащую стороны треугольника.

{ AB + AC = 18

{ AB - AC = 8

Складываем уравнения

2*AB = 18 + 8 = 26; AB = 13

AC = AB - 8 = 13 - 8 = 5

Третий катет BC найдем из теоремы Пифагора

BC^2 = AB^2 - AC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144

BC = 12.

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник со сторонами 5, 12, 13.

Нам нужно найти расстояния от вершин до противоположных сторон.

То есть, проще говоря, нам надо найти высоты этого треугольника.

Надо заметить, что катеты - это и есть две высоты треугольника, потому что они перпендикулярны друг другу. h1 = AC = 5; h2 = BC = 12.

Найдем третью высоту h3 от прямого угла до гипотенузы через площадь.

S = a*b/2 = 5*12/2 = 30 = c*h3/2 = 13*h3/2

h3 = S*2/c = 30*2/13 = 60/13