Докажите b^3-b кратно 6.

Доказываем методом математической индукции.

1. Это верно для b = 2.

2. Пусть утверждение верно для b = n. Докажем что в этом случае оно верно для b = n+1:

(n+1) ³ - n - 1 = n³ + 3n² + 3n + 1 - n - 1 = (n³ - n) + (3n² + n)

(n³ - n) кратно 6 по предположению. Докажем, что (3n² + n) кратно 6.

(3n² + n) = 3n (n + 1)

Один из сомножителей n или (n + 1) четное число, т. е. n (n + 1) кратно 2, или к=n (n + 1) / 2 - целое,

тогда 3n (n + 1) = 3*2*к=6*к.

Следовательно, если утверждение верно для b = n, то оно верно для b = n+1 = > оно верно для любого натурального b!