Маша купила на рынке орехи. Маша разложила все орехи по два-остался 1 орех. Маша разложила все орехи по 3, по четыре, по пять, по шесть, и каждый раз оставался 1 орех. А когда она разложила орехи по 7 лишних орехов не осталось. Витя знает, что у маши меньше 500 орехов. Сколько орехов у Маши?

1) Пусть Маша купила k орехов, при этом по условию задачи:

k<500, где k∈N (т. е. k - натуральное число)

k = 7n, где n ∈ N

Следовательно:

7n<500 ⇒ n< 500 / 7 ⇒ n< 71 3/7

Но вспомним, что n - натуральное число ⇒ n ≤71

Тогда k ≤71 * 7 ⇒ k ≤ 497

2) По условию (k - 1) орехов делится на 2, на 3, на 4, на 5 и на 6 без остатка.

Наименьшее общее кратное этих чисел:

НОК (2,3,4,5,6) = 6*2*5 = 60

2,3 и 5 - простые числа (числа, которые делятся без остатка на 1 и на само число)

4 = 2*2

6 = 2*3

k - 1 = 60m ⇒ k = 60m + 1, где k ∈ N, m ∈ N, k ≤ 497

3) Следовательно:

60m + 1 ≤ 497

60m ≤497 - 1

60m ≤ 496

m ≤496 / 60

m≤ 62/15

m ≤ 8 2/15 ⇒ m ≤ 8

Допустим:

1) m = 8

60*8 + 1 = 481 - не походит, т. к. не соблюдается условия k = 7n

(481:7 = 68 (ост. 5))

2) m = 7

60 * 7 + 1 = 421 - не подходит, т. к. k≠ 7n

(421 : 7 = 60 (ост. 1))

3) m = 5

60 * 5 + 1 = 301 (орех) - подходит

проверим:

301 : 7 = 43

301 : 2 = 150 (ост. 1)

301 : 3 = 100 (ост. 1)

301 : 4 = 75 (ост. 1)

301 : 5 = 60 (ост. 1)

301 : 6 = 50 (ост. 1)

4) m = 4

60 * 4 + 1 = 241 - не подходит, т. к. k≠ 7n

(241 : 7 = 34 (ост. 3))

5) m = 3

60 * 3 + 1 = 181 - не подходит, т. к. k≠7n

(181 : 7 = 25 (ост. 6))

6) m = 2

60 * 2 + 1 = 121 - не подходит, т. к. k≠ 7n

(121 : 7 = 17 (ост. 2))

7) m = 1

60 * 1 + 1 = 61 - не подходит, т. к. k≠ 7n

(61 : 7 = 8 (ост. 5))

Ответ: 301 орех у Маши.