Дан произвольный угол, внутри которого взята точка А (которая не лежит на биссектрисе данного угла). Постройте окружность вписанную в данный угол, проходящую на точке А.

Пусть мы имеем угол 2α с вершиной в начале координат и одним лучом по оси Ох. Точка А имеет координаты (х; у).

Неизвестны координаты (хо; уо) центра окружности, проходящей через точку А и касающейся сторон угла, находящегося на биссектрисе угла.

Радиус окружности и координата уо = хо*tg α.

Уравнение окружности примет вид: (х-хо) ² + (у-уо) ² = (хо*tg α) ².

Раскроем скобки и заменим уо:

(х-хо) ² + (у-хо*tg α) ² = (хо*tg α) ².

х²-2 хо*х+хо²+у²-2 у*tg α*xo+xo²*tg²α = xo²*tg²α.

После сокращение и приведения подобных получаем квадратное уравнение: хо ² - (2y*tg α+2x) * xo + (x²+y²) = 0.

Подставив известные данные в полученное уравнение, определим координату центра окружности хо.

Восстановив перпендикуляр до пересечения с биссектрисой, находим центр окружности и строим её.