Две параболы y=2x^2+ax+b и y=-5x^2+cx+d касаются в точке, лежащей на оси Ox. Через точку D - вторую точку пересечения первой параболы с осью Ox - проведена вертикальная прямая, пересекающая вторую параболу в точке A, а общую касательную к параболам - в точке B. Найдите отношение DA:DB.

По условию парабола у=2x2+ax+b пересекает ось Ох дважды, т. е квадратное уравнение 2x2+ax+b=0 имеет два корня

хо и хD

2x2o+axo + b=0

2 х2D+axD+b=0

вычтем

2 (x2o-x2D) + а· (xo-xD) = 0

((xo-xD) · (2xo+2xD+а) = 0

xo-xD≠0, точки по условию различны.

Значит

2xo+2xD+а=0

(xo+xD) = - a/2 (# 1)

точка касания расположена на оси Ox, значит (xo; 0)

Составим уравнение касательной к параболе у=2x2+ax+b.

f (x) = 2x2+ax+b

f (xo) = 0,

f' (x) = 4x+a

f' (xo) = 4xo+a

y-0 = (4 хо+a) · (x-xo) - уравнение касательной к первой параболе.

Составим уравнение касательной к параболе у=2x2+ax+b.

f (x) = - 5x2+сx+d

f (xo) = 0,

f' (x) = - 10x+c

f' (xo) = - 10xo+c

y-0 = (-10 хо+c) · (x-xo) - уравнение касательной ко второй параболе.

Касательная общая, значит

4 хо+a=-10 хо+c (угловые коэффициенты равны)

14xo + a - c = 0

xo = (c-a) / 14 (# 2)

У точек А; В и D - одинаковые абсциссы.

Найдем ординаты.

Точка А лежит на второй параболе

Точка В на касательной

А (xD; -5x2D+cxD+d)

В (хD; (4 хо+a) (xD-xo)

D (хD; 0)

|AD|=|-5x2D+cxD+d|

-5x2o+сxo + d=0

d=5x2o-сxo

|AD|=|-5x2D+cxD+5x2o-сxo|=

=|xo-xD|·|5xo+5xD-c|

|ВD|=|xo-xD|·|4xo+a|

|DА|:|DВ|=|5xo+5xD-c|/|4xo+a|

так как

(xo+xD) = - a/2 (# 1)

xo = (c-a) / 14 (# 2)

|DА|:|DВ|=|5xo+5xD-c|/|4xo+a|=

=|5· (-a/2) - c|/| (4· (c-a) / 14) + a|=

=| (-5a-2c) / 2|/| (2c+5a) / 7|=7/2

Ответ: 7/2