Y'=1+x-y/x при начальных условиях y (1) = 4

Y'=y/x+sin (y/x)

это однородное уравнение. Пусть y=tx = > y’=t’x+t

t’x+t=t+sint = > dt/sint=dx/x

∫dt/sint=∫dx/x = > ln|tg (t/2) |=ln|x|+C = > tg (t/2) = Cx

tg (y/2x) = Cx

Подставляем начальное условие и находим С.

tg (π/4) = C=1.

Тогда искомое частное решение

tg (y/2x) = x = > y/2x=arctgx = > y=2x•arctgx