Существует ли натуральное число, квадрат которого имеет сумму цифр, равную 2009

Существует, и не одно

Рассмотрим числа

2009 (сумма цифр 11)

и

2*2009=4018 (сумма цифр 13)

Найдем х и у такие, что

11x+13 y = 2009

11x+11y+2y=182*11+7

2y-7=11 k

Например, y=9, k=1. Тогда х=172.

Выписываем подряд

172 раза число 2009 и 9 раз число 4018.

Сумма его цифр равна 172*11+9*13=2009.

Очевидно, что оно делится на 2009.

Аналогичным образом можно составить ещё кучу таких чисел

с 2009 и 2*2009

а также

со всевозможными числами, кратными 2009.