По определению, n! = 1 х 2 х 3? х ... х n.

Какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения 1! х 2! х 3! х ... х 20!,

чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого натурального числа?

Заметим, что

1! х 2! х 3! х 4! х ... х 20! = (1! х 2!) х (3! х 4!) х ... х (19! х 20!) =

= (1! х 1! х 2) х (3! х 3! х 4) х (5! х 5! х 6) х ... х (17! х 17! х 18) х (19! х 19! х 20) =

= (1!) 2 х (3!) 2 х (5!) 2 х ... х (19!) 2 х (2 х 4 х 6 х 8 х ... х 18 х 20) =

= (1!) 2 х (3!) 2 х (5!) 2 х ... х (19!) 2? х (2 х (2 х 2) х (3 х 2) х ... х (10 х 2)) =

= (1! х 3! х ... х 19!) 2 х 2 10 х (1 х 2 х 3 х ... х 2 х 10) = (1! х 3! х ... х 19!) 2 (2 5) 2 х 10!

Мы видим, что первые два множителя квадраты, поэтому, если вычеркнуть 10!, то останется квадрат.

Легко видеть, что вычеркивание других множителей, указанных в ответах, не дает желаемого результата. Ответ: 10!