В пяти кружках занимаются всего 8 школьников, причем нет двоих школьников А и Б, для которых выполняется условие: все кружки, которые посещает А, посещает и Б. Докажите, что каждый школьник занимается в двух или трёх кружках

обозначим учеников через 1,2, ... 8, а кружки через А, Б, В, Г, Д

не ограничивая общности если 1 й ходит только в кружок А, то остальные в кружок А ходить не могут, иначе сразу противоречие (если например второй ходит в кружок А и другой кружок, например Б, то он ходит во все кружки в которые ходит 1, что невозможно)

т. е. ученики ходят минимум в 2 кружка (могут и в большее).

никто из ребят не может ходить сразу во все пять кружков, иначе он будет ходить во все кружки которые ходит любой другой из ребят

Далее если например 1 й ученик ходит в 4 кружка (например А, Б, В, Г), то

никто не может ходить в комбинацию двух или трех кружков из кружков А, Б, В, Г так как 1 й будет ходить во все кружки что и второй

остаются возможными варианты Б, Е или В, Е, или Г, Е или А, Е или А, Б, Е, или Б, В, Е, или В, Г, Е, или А, Г, Е или Б, В, Г, Е или А, Б, В, Е, или А, Г, В, Е или А, Б, Г, Е

если 2 й ходит в 2 кружка из оставшихся например Б, Е, то исключая противоречивые согласно условию остаются возможными 6 вариантов или В, Е, или Г, Е или А, Е или В, Г, Е, или А, Г, Е или А, Г, В, Е (среди которых есть противоречивые например В, Е и А, Г, В, Е) и вариантов получается меньше чем 6, и для какогото из учеников не остается варианта выбора

если 2 й ходит в 3 кружка, например А, Б, Е, то исключая остаются возможности для других учеников или В, Е, или Г, Е или В, Г, Е, или А, Г, Е или Б, В, Г, Е или А, Г, В, Е - 6 возможностей, среди которых есть противоречивые (например Г, Е и А, Г, В, Е) и возможностей получается меньше чем оставшихся учеников.

если 2 й ходит в 4 кружка например Б, В, Г, Е, то исключая согласно условию остаются возможности или А, Б, Е или А, Г, Е или А, Б, В, Е, или А, Г, В, Е или А, Б, Г, Е - 5 возможностей - меньше чем оставшихся учеников. Следовательно и такой вариант событий не подходит.

Таким образом получаем что не один ученик не может ходить в четыре кружка.

Обьединяя получаем искомое, что согласно правилам и условию каждый школьник занимается в 2 х или 3 х кружках.

такое возможно

например

1 - А, Б, 2 - Б, В, 3 - В, Г, 4 - Г, Д, 5 - Д, Е 6 - А, Е, 7 - Б, Е 8 - Г, Е