найти геометричное место точек которые равноудалены от точки М (1; 1) и прямой y=4

Найти геометрическое место точек которые равноудалены от точки М (1; 1) и прямой y=4

Геометрическое место точек равноудалённых от точки (называемой фокусом) и прямой (называемой директрисой) называется параболой.

Фокус находится в точке М (1; 1). Уравнение директрисы y=4

Уравнение параболы, ось симметрии которой параллельна оси Oy

y = ax2 + bx + c, p = 1 / (2a)

Уравнение директрисы

y = yo - p/2,

где p - параметр параболы.

Координаты фокуса

F (xo, yo + p/2)

Запишем систему уравнений

{ yo - p/2 = 4

{ yo + p/2 = 1

Из первого уравнения выразим yo

yo = 4 + p/2

Подставим во второе уравнение

4 + p/2 + p/2 = 1

p = - 3

yo = 4 - 3/2 = 2,5

Из уравнения p = 1 / (2a) находим коэффициент а

а = 1 / (2p) = 1 / (2 * (-3)) = - 1/6

Из уравнения xo = - b / (2a) находим коэффициент b

b = - 2a*xo = - 2 * (-1/6) * 1 = 1/3

Из уравнения yo = a*xo^2 + b*xo + с находим коэффициент с

с = yo - a*xo^2 - b*xo = 2,5 - (-1/6) * 1^2 - 1/3*1 = 2,5+1/6-1/3 = 7/3

Запишем уравнение параболы

y = - x^2/6 + x/3 + 7/3