Найти промежутки монотонности и точки экстремумов функции: y = x^4 + 2x^2 + 1

1) Область определения данной функции - все действительные числа, так как данная функция многочлен.

2) Найдем производную данной функции у штрих=4x^3+4x

3) Найдем критические точки, решив уравнение

4x^3+4x=4

4x (x^2+1) = 0

одна критическая точка x=0.

Найдем знаки производной на полученных промежутках.

(-бесконечность; 0) - первый промежуток. Возьмем любое значение из данного промежутка и подставим в производную. Например, x=-1.

-4 * (1+1) <0.

На втором промежутке (0; +бесконечность) производная будет положительная.

x=1, 4 * (1+1) >0.

Итак, одна экстремальная точка x=0, так как производная меняет знак в ней с + на -, то эта точка минимума.

На интервале (-Бесконечности; 0) функция убывает, так как производная на этом промежутке отрицательная. На промежутке (0; +бесконечность производная положительная, поэтому функция на данном промежутке возрастает.