Некто записал девятизначное число, делящее на 9. переставил несколько цифр и получил новое число, Делится ли это новое число на 9. Почему?

Да делится. По признаку делимости на 9: если сумма цифр целого числа делится на 9, то и само число делится на 9; если же сумма цифр числа не делится на 9, то это число не делится на9.