Пусть S (n) и K (n) обозначают сумму всех цифр и сумму квадратов всех цифр

натурального числа n соответственно.

а) Существует ли такое натуральное число n, что K (n) = 2S (n) + 23?

б) Существует ли такое натуральное число n, что K (n) = 3S (n) + 23?

в) Для какого наименьшего натурального числа n выполнено равенство K (n) = 8S (n) + 83?

А) Существует. Пусть число будет двузначным, 10a + b.

a^2 + b^2 = 2 (a + b) + 23

a^2 - 2a + b^2 - 2b = 23

Прибавим 2 к левой и правой части

(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) = 25

(a - 1) ^2 + (b - 1) ^2 = 5^2

По теореме Пифагора оно имеет целое решение:

a - 1 = 3; b - 1 = 4 (или наоборот, a - 1 = 4; b - 1 = 3).

Ответ: Это числа 45 и 54.

б) Не существует. Решаем точно также. Пусть у нас n-значное число.

a^2 + b^2 + ... + x^2 = 3 (a + b + ... + x) + 23

Умножаем всё на 4 и переносим все переменные влево

(4a^2 - 12a) + (4b^2 - 12b) + ... + (4x^2 - 12x) = 92

Прибавляем 9 к каждой скобке, получаем квадраты. Всего n девяток.

(4a^2 - 12a + 9) + (4b^2 - 12b + 9) + ... + (4x^2 - 12x + 9) = 92 + 9n

(2a - 3) ^2 + (2b - 3) ^2 + ... + (2x - 3) ^2 - 9n = 92

n единиц можно разнести по скобкам, останется 8n.

((2a - 3) ^2 - 1) + ((2b - 3) ^2 - 1) + ... + ((2x - 3) ^2 - 1) - 8n = 92.

Дальше идет довольно тонкое рассуждение. Если подставить вместо букв числа от 0 до 9, то мы получим всякий раз число, которое делится на 8.

Число 8n, естественно, тоже кратно 8. А 92 на 8 НЕ делится.

Поэтому это уравнение решений не имеет.

в) 19999999999. Единица и 10 девяток.

Решается точно тем же способом.

(a - 4) ^2 + (b - 4) ^2 + ... (x - 4) ^2 = 83 + 16n

Тут тоже тонкие рассуждения. Если буква (a, b, ..., x) имеет значение от 0 до 8, то правая часть растет меньше, чем левая. То есть сумма квадратов обгоняет сумму цифр меньше, чем на 83.

И только если a = 9, левая часть увеличивается на 25, а правая на 16.

То есть разница уменьшается на 25 - 16 = 9. Очевидно, 9 девяток уменьшат разницу на 9*9 = 81, а нам надо 83, поэтому нужна десятая девятка.

И, кроме того, должна быть еще одна цифра, 1 или 7.

(1 - 4) ^2 = (-3) ^2 = (7 - 4) ^2 = 3^2 = 9.

Поэтому наименьшее число состоит из одной 1 и десяти 9.