Доказать, что среди чисел, состоящих из цифр 3, найдётся число, делящееся на 17.

Пусть число, состоящее из цифр 3, имеет длину n. Тогда его можно расписать как сумму геометрической прогрессии:

3+3*10^1+3*10^2 + ... + 3*10^ (n-1) = 3 * (10^n-1) / (10-1) = (10^n-1) / 3

Это число должно делиться на 17. Значит, и число 10^n-1 должно делиться на 17.

10^n-1≡0 (mod 17) или 10^n≡1 (mod 17)

Как известно, из малой теоремы Ферма следует, что a^ (p-1) ≡1 (mod p), где p - некоторое простое число, а НОД (a, p) = 1. Здесь a=10, p=17. Следовательно, наименьшим n является p-1=16, при котором число, состоящее из 16 троек делится на 17.