Натуральное число n таково, что у числа 2n больше делителей, чем у числа 3n, а у числа 6n больше делителей, чем у числа 10n на какое из чисел А - Д обязательно делитсн n?

(A) 4

(Б) 6

(B) 9

(Г) 10

(Д) 25

Пусть r = 2^a * 3^b * 5^c * m, где m не делится на 2, 3 или 5. Обозначим за # (x) число делителей числа x. Допустим, мы знаем все делители числа 3^b * 5^c * m, это u1, u2, u3, ..., uk; k = # (3^b * 5^c * m). Выпишем все делители n: это u1, u2, u3, ..., uk, 2 * u1, ..., 2 * uk, 2^2 * u1, ..., 2^2, ..., 2^a * u1, ..., 2^a * uk - всего (a + 1) * k штук. Аналогично можно поступить с остальными степенями, окончательно получим такую формулу: # (2^a * 3^b * 5^c * m) = (a + 1) (b + 1) (c + 1) # (m)

Допустим, n = 2^a * 3^b * 5^c * m, где a, b, c - целые неотрицательные числа.

Если # (2n) > # (3n), то (a + 2) (b + 1) (c + 1) # (m) > (a + 1) (b + 2) (c + 1) # (m), откуда (a + 2) (b + 1) > (a + 1) (b + 2); b > a.

Если # (6n) > # (10n), то (a + 2) (b + 2) (c + 1) # (m) > (a + 2) (b + 1) (c + 2) # (m); (b + 2) (c + 1) > (b + 1) (c + 2); c > b.

Итак, c > b > a ≥ 0, откуда b ≥ 1, c ≥ 2, и n обязательно делится на 2^0 * 3^1 * 5^2 = 75, а значит, и на 25.