4^x - (5b-3) * 2^x+4b^2-3b=0

Найти все значения b, при которых уравнение будет иметь 1 корень.

Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно 2^x

Оно будет иметь одно решение при D=0

D = (5b-3) ²-4*1 * (4b²-3b) = 9b²-18b+9

⇒ 9b²-18b+9=0

b²-2b+1=0

(b-1) ²=0

b=1

Рассмотрим случай, когда одно из значений меньше нуля (это невозможно потому что 2^x всегда больше 0):

2^x = (5b-3 + √ (9b^2-18b+9)) / 2

или

2^x = (5b-3 - √ (9b^2-18b+9)) / 2

2^x = (5b-3 + 3√ (b^2-2b+1)) / 2

или

2^x = (5b-3 - 3√ (b^2-2b+1)) / 2

Далее, используя формулу квадрата разности:

2^x=4b-3

или

2^x=b

Получаем, что только одно из них положительно при b, принадлежащем (0; 3/4]