Учитель написал на доске квадратный трёхчлен x^2+10x+20, после чего по очереди каждый из учеников увеличил или уменьшил на 1 либо коэффициент при x, либо свободный член (но не оба сразу). В результате получился квадратный трёхчлен x^2+20x+10. Верно ли, что в некоторый момент на доске был написан трёхчлен с целыми корнями?

Нужно решать с помощью теоремы Виета.

Теорема Виета.

x1 + x2 = - b

x1 * x2 = c.

Решение:

Предположим что оба корня положительны. Из этого получаем, что не выполняется первая строка теоремы Виета. (Сумма двух положительных чисел не может быть отрицательной)

Предположим, что один корень отрицательный. Из этого получается что не выполняется вторая строка из теоремы Виета. (Произведение положительного и отрицательного числа дает отрицательное число)

Предположим, что оба корня отрицательны. В данном случаи они удовлетворяют условию 1 и 2 теоремы Виета. Но учитывая то, что коэффициент при X всегда оставался положительным, когда его меняли ученики, а решение с двумя отрицательными корнями требует отрицательный, можно сказать, что целых корней не было.

Ответ: нет, не верно.

Рассмотрим значение начальной и конечной функции в значение (-1),f1(-1)=11, f2(-1)=9, заметим, что мы двигались с шагом 1 и неизбежно пересекли 0, что означает, что -1 была корнем, из чего следует что и второй корень был целым. Ответ: да.