Найти все частные производные второго порядка заданной функции двух переменных, доказав при этом равенство смешанных производных.

u = tg (x³y³)

Du/dx=3x²y³ (tg² (x³y³) + 1)

d²u/dx²=6xy³ (tg² (x³y³) + 1) + 3x²y³2 (tg (x³y³) 3x²y³ (tg² (x³y³) + 1) = = 6xy³ (3x³y³tg (x³y³) + 1) (tg² (x³y³) + 1)

Аналогично

du/dy=3x3y2 (tg² (x³y³) + 1)

d²u/dy²=6x³y (tg² (x³y³) + 1) + 3x³y²2 (tg (x³y³) 3x³y² (tg² (x³y³) + 1) = = 6x³y² (3x³y³tg (x³y³) + 1) (tg² (x³y³) + 1)

смешанные

d²u/dxdy=d (3x²y³ (tg² (x³y³) + 1)) / dy=9x²y² (tg² (x³y³) + 1) + 3x²y³2tg (x³y³) 3x³y² (tg² (x³y³) + 1) = 9x²y² (2x³y³tg (x³y³) + 1) (tg² (x³y³) + 1)

d²u/dydx=d (3x³y² (tg² (x³y³) + 1)) / dx=9x²y² (tg² (x³y³) + 1) + 3x³y²2tg (x³y³) 3x²y³ (tg² (x³y³) + 1) = 9x²y² (2x³y³tg (x³y³) + 1) (tg² (x³y³) + 1),

т. е. смешанные производные равны