В наборе были гирьки массой 5, 24 и 43 грамма, поровну каждого вида. Все имеющиеся гирьки взвесили, и их масса оказалась равной 606060 ...60 граммам. Докажите, что более 10 гирек потеряно.

Предположим, что потеряно не более 10 гирек. Тогда при возвращении на место этого количества получится вес, кратный 5+24+43=72. Числа вида 6060 ... 60 при делении на 72 могут давать в остатке 60, 12 или 36, что проверяется непосредственно. Тут будет период 3, так как числа 60606060 и 60 сравнимы по модулю 72 - - их разность делится и на 8, и на 9.

Таким образом, добавленный вес должен иметь вид 12+72k, 36+72k или 60+72k. Остаток от деления на 24 здесь везде равен 12. Осталось показать, что при помощи 10 или менее гирек из набора такой вес не набирается. Чтобы не перебирать много вариантов, заменим числа 5, 24, 43 на 5, 0, - 5 по модулю 12. Если x, y, z - - число потерянных гирек каждого из видов, то 5 (x-z) кратно 12, а потому и x-z. Значит, x=z, так как x+y+z<=10. Теперь рассмотрим всё по модулю 24, заменяя наши числа на те же: 5, 0, - 5. Ввиду x=z, окажется, что суммарный потерянный вес делится на 24. Это приводит к противоречию.

Заметим, что 11 гирек также не могло быть потеряно, а пример с 12 потерянными легко строится (было по 85 гирек каждого веса, а потом 12 гирек весом 5 г потеряли)