Число заменяют на произведение чисел, результат опять на произведение цифр этого числа и т. д Доказать, что среди четырехзначных чисел не менее трети при помощи таких операций рано или поздно превратятся в ноль

Всего 4-х значных чисел 9999-999=9000.

Нужно показать, что не менее 3 тыс. чисел превратятся в 0.

1) После первой операции в 0 превратится любое число, у которого есть 0 в написании.

Кол-во чисел с 0 на втором месте:

- на первом месте любая из 9 цифр, на третьем месте - любая из 10, на 4-ом - любая из 10, всего 9*10*10=900.

- с 0 на третьем месте (но не 0 на втором - они учтены в предыдущем случае):

9*9*10=810.

- с 0 на 4-ом месте, но не на 2-ом и 3-ем:

9*9*9=729.

Всего с 0-м в написании: 900+810+729=2439.

2) После первой операции 0 появится у всех чисел, в написании которых есть 5-ка и хотя бы одна из четных цифр: 2,4,6,8.

Пусть 5-ка на первом месте, на втором - одна из 2,4,6,8, на третьем и 4-ом - любые цифры, кроме 0. Таких чисел 4*9*9=324

Если 5-ка на втором месте, на первом - любая из 2,4,6,8, на третьем и 4-ом - любые цифры, кроме 0. Таких чисел также 324.

Итого, мы нашли 2439+324+324 = 3087 различных 4-х значных чисел, которые превратятся в 0. Ч. т. д.