Все целые числа от 1 до 13 выписали в ряд так, что каждое число, начиная со второго является делителем суммы всех предыдущих чисел а) Может ли на последнем месте стоять 5? б) Какие числа могут быть на последнем месте? в) какие числа могут быть на третьем месте?

а) Не может. Сумма всех чисел равна 13 ⋅ 14 / 2 = 91, и если на конце стоит 5, то 86 делится на 5, что неверно.

б) Пусть d - - число, стоящее на последнем месте. Тогда d делит 91 - d, а это значит, что d делит 91 = 7 ⋅ 13. Поэтому d равно одному из чисел 1, 7, 13. Приведём примеры, показывающие, что каждое из этих чисел может оказаться на конце:

12, 6, 9, 3, 10, 8, 4, 13, 5, 7, 11, 2, 1

9, 3, 4, 8, 2, 13, 1, 10, 5, 11, 6, 12, 7

11, 1, 2, 7, 3, 8, 4, 9, 5, 10, 12, 6, 13

в) На третьем месте могут быть любые числа. Для чисел 2, 4, 9 примеры приведены выше. Оставшиеся случаи:

12, 2, 1, 5, 10, 3, 11, 4, 8, 7, 9, 6, 13

11, 1, 3, 5, 10, 2, 4, 12, 8, 7, 9, 6, 13

4, 1, 5, 10, 2, 11, 3, 12, 8, 7, 9, 6, 13

11, 1, 6, 9, 3, 10, 8, 4, 13, 5, 2, 12, 7

12, 2, 7, 1, 11, 3, 9, 5, 10, 4, 8, 6, 13

7, 1, 8, 2, 9, 3, 10, 4, 11, 5, 12, 6, 13

9, 1, 10, 2, 11, 3, 4, 8, 12, 5, 13, 6, 7

10, 1, 11, 2, 3, 9, 4, 8, 12, 5, 13, 6, 7

10, 2, 12, 1, 5, 3, 11, 4, 8, 7, 9, 6, 13

12, 1, 13, 2, 4, 8, 10, 5, 11, 6, 9, 3, 7