Известно, что для всех пар положительных чисел (x; y), для которых выполняются равенство x+y=6 и неравенство x^2+y^2>23, выполняется и неравенство x^4+y^4>m. Какое наибольшее значение может принимать m?

Т. к. x⁴+y⁴ = ((x²+y²) ²+2 (x+y) ² (x²+y²) - (x+y) ⁴) / 2

(что легко проверяется раскрытием скобок), то при х+у=6 выполнено

x⁴+y⁴ = ((x²+y²) ²+2·6²· (x²+y²) - 6⁴) / 2. Т. е., когда x²+y² пробегает интервал (23; +∞), величина x⁴+y⁴ пробегает интервал

((23²+2·6²·23-6⁴) / 2; +∞) = (444,5; +∞), т. е. максимальное m=444,5.