Проверить является ли функция y = (Cx-1) x решением дифференциального уравнения y'=x+2y/x

Проверить является ли функция y = (Cx-1) x решением дифференциального уравнения y' = x + 2y/x

Решение:

Проверку можно сделать подстановкой функции в дифференциальное уравнение первого порядка.

Вначале найдем производную функции

y' = ((Cx-1) x) ' = (Cx-1) 'x + (Cx-1) x' = Cx + Cx - 1 = 2Cx - 1

Заново запишем дифференциальное уравнение

y' = x + 2y/x

2 Сх - 1 = х + 2 (Сх - 1) х/x

2 Сх - 1 = х + 2 (Сх - 1)

2Cx - 1 = x + 2Cx - 2

2Cx - 1 = 2Cx - 2 + x

Видно что для любого значения константы С уравнение верно только для х = 1. Поэтому функция y = (Cx-1) x не является решением дифференциального уравнения первого порядка y' = x + 2y/x

Решением данного уравнения является функция y = x² (C + ln (x))

Ответ: Нет

Если дифференциальное уравнение записано в виде y' = (x + 2y) / x

то при подстановке функции y = (Cx-1) x в правую часть уравнения получим

(x + 2y) / x = (x + 2 (Cx-1) x) / x = 1 + 2 (Cx-1) = 1 + 2Cx - 2 = 2Cx - 1.

Получили верное равенство

y' = (x + 2y) / x

2 Сx - 1 = 2Cx - 1

Поэтому функция y = (Cx-1) x является решением дифференциального уравнения y' = (x + 2y) / x.