Решите уравнение m2 - 3m - 7 = n2 - 6n в натуральных числах

Выделяя полные квадраты и умножая на 4, получим

(m²-2m·3/2+9/4) - 1/4=n²-2·3n+9,

(m-3/2) ² - (n-3) ²=1/4,

(2m-3) ² - (2n-6) ²=1.

Сделаем замену a=2m-3, b=2n-6, тогда a²-b²=1, т. е. (a-b) (a+b) = 1.

Т. к. а и b - целые, то либо а-b=1, a+b=1, откуда а=1, b=0, либо а-b=-1, a+b=-1, т. е. а=-1, b=0. Итак,

2m-3=1, 2n-6=0, откуда m=2, n=3.

2m-3=-1, 2n-6=0, откуда m=1, n=3.