Найти область определения функции

f (x) = lg (x+1) (3-2x)

Выражение под знаком логарифма должно быть положительным:

(x+1) (3-2x) > 0

Найдем границы области определения, решив уравнение:

(x+1) (3-2x) = 0

(x+1) = 0 или (3-2x) = 0

Х = - 1 или х = 1,5 (нули квадратичной функции)

Интервалы знакопостоянства:

(-∞; -1), (-1; 1,5), (1,5; + ∞).

При переходе через нули квадратичная функция меняет знак. Определить знак функции в каждом интервале можно, находя значение функции для любого значения х из рассматриваемого интервала.

При х = 0 ∈ (-1; 1,5)

(x+1) (3-2x) = (0+1) (3-2*0) = 1*3 = 3 > 0.

Значит, в интервале (-1; 1,5) функция (x+1) (3-2x) > 0.

В интервале (-∞; -1) функция (x+1) (3-2x) < 0.

В интервале (1,5; + ∞) функция (x+1) (3-2x) < 0.

Таким образом, найдена область определения функции f (x) = lg (x+1) (3-2x) : D (f) = (-1; 1,5).

Ответ: область определения D (f) функции f (x) - интервал (-1; 1,5).