Из листового железа изготовили бак цилиндрической формы (без крышки) вместимостью V с наименьшей затратой металла. Каковы размеры бака?

Пусть радиус основания равен R. Тогда, так как объем находится по формуле V = pi * R^2 * H, то H = V / (pi R^2).

Площадь бака равна S = pi R^2 + 2 pi R H (одна круглая крышка и боковая поверхность).

Необходимо, чтобы площадь была минимальна.

S = pi R^2 + 2 pi R H = pi R^2 + 2 V / R - > min

Находим производную S' (R):

S' (R) = 2 pi R - 2 V / R^2

Находим нули производной:

2 pi R - 2V / R^2 = 0

R^3 = V / pi

R = (V / pi) ^ (1/3)

При 0 < R < (V / pi) ^ (1/3) производная S (R) (V / pi) ^ (1/3) производная S (R) > 0. Поэтому в точке R = (V/pi) ^ (1/3) достигается минимум.

При этом R высота H равна

H = V / (pi R^2) = V / pi * (pi / V) ^ (2/3) = (V / pi) ^ (1/3)