Даны координаты вершин пирамиды А1 А2 А3 А4.

Построить пирамиду.

Найти: 1) длину ребра А1 А2;

2) угол между ребрами А1 А2 и А1 А4;

3) площадь грани А1 А2 А3;

4) объем пирамиды.

А1 (2; -2; 1)

А2 (10; 2; 2)

А3 (6; 1; 2)

А4 (8; 4; 4)

Даны координаты пирамиды: A1 (2,-2,1), A2 (10,2,2), A3 (6,1,2), A4 (8,4,4)

1) Координаты векторов.

Координаты векторов находим по формуле:

X = xj - x i; Y = yj - y i; Z = zj - z i

здесь X, Y, Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки А i; xj, yj, zj - координаты точки А j;

Например, для вектора A1A2

X = x2 - x 1; Y = y2 - y 1; Z = z2 - z 1

X = 10-2; Y = 2 - (-2); Z = 2-1

A1A2 (8; 4; 1)

A1A3 (4; 3; 1)

A1A4 (6; 6; 3)

A2A3 (-4; -1; 0)

A2A4 (-2; 2; 2)

A3A4 (2; 3; 2)

Модули векторов (длина ребер пирамиды)

Длина вектора a (X; Y; Z) выражается через его координаты формулой:

|a| = √ (X²+Y²+Z²).

Длина ребра А1 А2 равна:

А1 А2 = √ ((8² + 4² + 1²) = √ (64 + 16 + 1) = √81 = 9.

2) Найдем угол между ребрами A1A2 (8; 4; 1) и A1A4 (6; 6; 3):

cos α = (8*6+4*6+1*3) / (9*9) = (48+24+4) / 81 = 76/81 = 0,925926.

α = arccos (0.925926) = 0,387317 радиан = 22,19161 °.

3) Площадь грани А1 А2 А3.

Площадь грани можно найти по формуле:

S = (1/2) * |a|*|b|*sin α,

где sin α = √ (1 - cos²α).

Найдем площадь грани A1A2A3

Найдем угол между ребрами A1A2 (8; 4; 1) и A1A3 (4; 3; 1):

cos α = (8*4+4*3+1*1) / (9*√26) = 45 / 45,89118 = 0,980581.

sin α = √ (1 - 0,980581²) = 0,196116.

Площадь грани A1A2A3 равна:

S = (1/2) * 9*√26 * 0,196116 = 4,5 кв. ед.

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:

Векторное произведение:

i j k

8 4 1

4 3 1 =

= i (4*1-3*1) - j (8*1-4*1) + k (8*3-4*4) = i - 4j + 8k.

S = (1/2) * √ (1²+4²+8²) = (1/2) * √81 = 4,5 кв. ед.

4) Объем пирамиды.

Объем пирамиды, построенный на векторах a1 (X1; Y1; Z1), a2 (X2; Y2; Z2), a3 (X3; Y3; Z3) равен:

X1 Y1 Z1

(1/6) * X2 Y2 Z2

X3 Y3 Z3 =

= 8 4 1

4 3 1

6 6 3

Находим определитель матрицы

∆ = 8 * (3*3-6*1) - 4 * (4*3-6*1) + 6 * (4*1-3*1) = 6.

V = (1/6) * 6 = 1 куб. ед.