С квадратного листа картона со стороной а вырезают с углов одинаковые квадраты, а с крестоподобной фигуры, которая образовалась склеивают прямоугольную коробку, какой должна быть сторона вырезанного квадрата, чтобы объём коробки был наибольшим?

Обозначим сторону маленького квадрата за х. Тогда площадь основания коробки будет равна S = (a-2x) ^2, а объем коробки будет равен V = (a-2x) ^2*x=a^2*x-4*a*x^2+4*x^3.

Для нахождения максимума объема продифференцируем эту функцию по x, получим 12*x^2-8*a*x+a^2. Приравняем производную нулю и решим полученное уравнение относительно x:

x1,2 = (8a+/-sqrt (64a^2-48a^2)) / 24 = (8a+/-4a) / 24

x1=1/6*a

x2=1/2*a

Очевидно, что при x=1/2*объем коробки равен 0, и равенство производной нулю в этой точке указывает на минимум функции объема (при изменении х от 0 до 1/2*a) ...

А x=1/6*a является точкой максимума функции объема.

Ответ: сторона вырезаемого по углам квадрата должна быть равна 1/6 части стороны исходного квадрата.