Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй -

0,8; третий - 0,5. Найти вероятность того, что студентом будут сданы: а)

только второй экзамен; только один экзамен; в) три экзамена; г) хотя бы

один экзамен

Решение

а) Обозначим события: Ai - студент сдаст i-й экзамен (i = 1, 2, 3);

В - студент сдаст только 2-й экзамен из трех.

Очевидно, что В =, т. е. совместное осуществление трех событий, состоящих в том, что студент сдаст 2-й экзамен и не сдаст 1-й и 3-й экзамены. Учитывая, что события A1, А2, А3 независимы, получим

б) Пусть событие С - студент сдаст один экзамен из трех. Очевидно, событие С произойдет, если студент сдаст только 1-й экзамен из трех, или только 2-й, или только 3-й, т. е.

в) Пусть событие D - студент сдаст все три экзамена, т. е. D =

A 1

A 2

A 3. Тогда

г) Пусть событие Е - студент сдаст по крайней мере два экзамена (иначе: "хотя бы два" экзамена или "не менее двух" экзаменов). Очевидно, что событие Е означает сдачу любых двух экзаменов из трех либо всех трех экзаменов, т. е.

и

д) Пусть событие F - студент сдал хотя бы один экзамен (иначе: "не менее одного" экзамена). Очевидно, событие F представляет сумму событий С (включающего три варианта) и Е (четыре варианта), т. е. F = А1 + А2 + А3 = С + Е (семь вариантов). Однако проще найти вероятность события F, если перейти к противоположному событию, включающему всего один вариант - F =, т. е. применить формулу (1.27).

Итак,

т. е. сдача хотя бы одного экзамена из трех является событием практически достоверным.