Докозать что сумма растояний от любой точки правильного треугольника до его сторон равна высоте треугольника

Пусть имеем правильный треугольник ABC и точку О внутри его

OD, OE и OF высоты соответственно на стороны AB, BC и AC.

Тогда

Sabc=Saob+Sboc+Saoc = AB*OD/2 + BC*OE/2 + AC*OF/2 = AB * (OD+OE+OF) / 2

Здесь учтено, что AB=BC=AC

То есть

(OD+OE+OF) / 2=2Sabc/AB=h