На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71). а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел. б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел? в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Пусть сумма цифр, стоящих на первых местах, равна a, сумма цифр, стоящих на вторых местах, равна b. По условию 10a + b = 363, после перестановки сумма станет равна 10b + a.

a) Если 10b + a = 363 * 4 = 1452, то 11 (a + b) = (10a + b) + (10b + a) = 1815; a + b = 165, тогда a = ((10a + b) - (a + b)) / 9 = (363 - 165) / 9 = 22; b = (10a + b) - 10a = 363 - 220 = 143.

Например, если всего чисел 22, на первом месте стоят единицы, на втором в 11 случаях стоит 6, а в остальных 11 случаях - 7, то получившаяся сумма будет в 4 раза больше.

б) Аналогично, 11 (a + b) = 363 * 2 + 363 = 363 * 3, a + b = 99. Но тогда a = (363 - 99) / 9 - не целое число.

в) Пусть 10b + a = x. Аналогично, a = (3630 - x) / 99 = 36 - (x - 66) / 99; b = (10x - 363) / 99 = 10 (x - 66) / 99 + 3.

a, b должны быть целыми числами, поэтому x должно давать остаток 66 при делении на 99, x = 99k + 66. Максимальное значение x достигается при наибольшем k.

a = 36 - k, b = 10k + 3

Заметим, что b не может быть больше 9a (если цифр n, то a ≥ n * 1, b ≤ 9 * n). Тогда

10k + 3 ≤ 9 (36 - k)

19k ≤ 321

k ≤ 16

Максимальное возможное значение x не больше 99 * 16 + 66 = 1650, при этом a = 20, b = 163. Равенство достигается, например, если на доске написаны 17 раз число 18 и 3 раза число 19.

Ответ. а) 11 раз число 16, 11 раз число 17; б) нет; в) 1650.