При каких значениях а корни уравнения х²+3 ах+а²+1=0 расположены на числовой прямой по разные стороны от числа 1?

Х1,2 = (-в + / - √D) / 2a

D = b² - 4ac

В нашем случае а=1, b=3 а, с=a²+1

D = (3 а) ² - 4 (a²+1) = 9a² - 4a² - 4 = 5a²-4

х1 = [-3 а+√ (5a²-4) ]/2

х2 = [-3 а-√ (5a²-4) ]/2

Положим х1>1, а х2<1

1) [-3 а+√ (5a²-4) ]/2>1

-3 а+√ (5a²-4) >2

√ (5a²-4) > 2+3 а

Возведем в квадрат обе части неравенства:

5a²-4 > (2+3 а) ²

5 а²-4 > 4+12 а+9 а²

9 а²-5 а²+12 а+8 < 0

4 а²+12 а+8 < 0

Разделим обе части на 4:

а²+3 а+2 < 0

а1=[-3+√ (3•3-4•2) ]/2 = [-3+√ (9-8) ]/2 = (-3+1) / 2=-1

а2=[-3-√ (3•3-4•2) ]/2 = [-3-√ (9-8) ]/2 = (-3-1) / 2=-2

(а+1) (а+2) <0

а+1<0, а<-1

а+2>0, а>-2

Или

а+1>0, а>-1

а+2<0, а<-2

следовательно, - 2>а>-1

2) [-3 а-√ (5a²-4) ]/2>1

-3 а-√ (5a²-4) >2

√ (5a²-4) < - (2+3 а)

Возведем в квадрат обе части неравенства:

5a²-4 < (2+3 а) ²

5 а²-4 < 4+12 а+9 а²

9 а²-5 а²+12 а+8 > 0

4 а²+12 а+8 > 0

Разделим обе части на 4:

а²+3 а+2 > 0

а1=[-3+√ (3•3-4•2) ]/2 = [-3+√ (9-8) ]/2 = (-3+1) / 2=-1

а2=[-3-√ (3•3-4•2) ]/2 = [-3-√ (9-8) ]/2 = (-3-1) / 2=-2

(а+1) (а+2) >0

а+1>0, а>-1

а+2>0, а>-2

Следовательно, а>-1

Или

а+1<0, а<-1

а+2<0, а<-2

Следовательно, а<-2