Известно, что а делится на b, а с делится на d. Обязательно ли ас делится на bd?

Да, обязательно.

Пусть мы смогли разложить на простые множители все числа,

тогда произведение a и c будет делиться и на b и на d.

=>ac/b и ac/d, перемножим их. (ac) ^2/bd (ac^2 делится на bd), что означает, что и ac делится на bd.